Como construir.
Uma forma nasce de relações. Avance um gesto de cada vez e experimente no papel.
Quadrado a partir de um segmento dado, com régua e compasso.
A reprodução muda de etapa a cada 3,5 segundos. Pause para acompanhar no papel. As letras identificam os pontos; o traço em destaque indica a ação atual.
Por que esta construção funciona?
Quatro lados iguais, sozinhos, não bastam. Um losango também tem quatro lados iguais. Para obter um quadrado, precisamos garantir os ângulos retos.
E e B ficam à mesma distância de A, em lados opostos da reta. Os arcos de centros E e B têm a mesma abertura. Sua interseção P pertence à mediatriz de EB: a reta AP passa pelo meio de EB e é perpendicular a AB.
O círculo de centro A e raio AB marca D nessa perpendicular. Assim, AD = AB e o ângulo DAB é reto.
Os arcos de centros B e D, ambos com raio AB, marcam C. Logo, AB = BC = CD = DA. O quadrilátero é um losango; como um de seus ângulos é reto, os quatro são retos. Portanto, é um quadrado.
Esta é uma construção alternativa com arcos de compasso. Euclides constrói o quadrado em I.46 usando uma perpendicular, lados iguais e paralelas.