Como construir.
Uma forma nasce de relações. Avance um gesto de cada vez e experimente no papel.
Heptágono aproximadamente regular, com régua e compasso. A aproximação não fecha exatamente.
Esta construção é aproximada. O heptágono regular não admite construção exata apenas com régua sem marcas e compasso. Vamos construir uma boa aproximação e observar seu erro.
A reprodução muda de etapa a cada 3,5 segundos. Pause para acompanhar no papel. As letras identificam os pontos; o traço em destaque indica a ação atual.
Podemos ampliar os instrumentos. Com dobraduras, há uma construção matematicamente exata: ver o heptágono por origami →.
Por que esta medida quase funciona?
O arco de centro A tem o mesmo raio R da circunferência inicial. Sua corda XY cruza o diâmetro em M, que fica a meio raio de O. No triângulo retângulo OMX, MX² = R² − (R/2)² = 3R²/4. Logo, MX = R√3/2 ≈ 0,866025 R.
O lado exato de um heptágono regular inscrito é 2R sen(π/7) ≈ 0,867767 R. A abertura que construímos é cerca de 0,201% menor.
Cada passo determina um ângulo central de aproximadamente 51,3178°, em vez de 360°/7 ≈ 51,4286°. Depois de sete passos, falta cerca de 0,7753° para completar a volta. H fica perto de A, mas não coincide com ele.
O erro não é apenas do instrumento. Ele existe também no modelo geométrico ideal, porque a medida escolhida é uma aproximação. Com raio de 100 mm, a distância entre H e A seria aproximadamente 1,35 mm.
Ao fechar o desenho ligando G diretamente a A, esse último lado fica cerca de 1,406% maior que os seis anteriores. Portanto, o resultado é um heptágono aproximadamente regular, não um heptágono regular exato.
Por que não existe a construção exata?
Na geometria clássica, a régua só traça retas e o compasso só traça círculos. Essas operações permitem obter comprimentos por uma sequência de operações aritméticas e raízes quadradas.
No heptágono regular, a quantidade x = 2 cos(2π/7) satisfaz x³ + x² − 2x − 1 = 0. Essa equação é irredutível sobre os racionais: as únicas possíveis raízes racionais seriam 1 e −1, e nenhuma funciona. Seu grau é 3, incompatível com a construção clássica por raízes quadradas.
Isso limita os instrumentos permitidos, não a existência da figura. Podemos representar o heptágono numericamente ou desenhá-lo com outros recursos. Aqui escolhemos estudar uma aproximação com régua e compasso.