Como construir.
Uma forma nasce de relações. Avance um gesto de cada vez e experimente no papel.
Heptágono regular por dobraduras · adaptação didática da construção de Huzita apresentada por Robu e colaboradores.
Uma construção exata no modelo matemático. A dobra simultânea de dois pontos sobre duas retas amplia as operações disponíveis. Na folha real, a precisão continua dependendo do gesto.
A reprodução avança a cada 5 segundos. Pause para acompanhar no papel. Nas etapas com um vinco novo, “Ver a dobra” anima o movimento; “Desdobrar” reabre a folha. A animação mostra uma projeção plana da dobra. Os vincos auxiliares ficam em cinza.
Como preparar a folha?
Use uma folha quadrada. Comece com a face escolhida voltada para cima. A está embaixo à esquerda; B, embaixo à direita; C, no alto à direita; D, no alto à esquerda.
Faça cada dobra e desdobre para guardar o vinco. Para facilitar o acompanhamento, marque os pontos com lápis leve. As primeiras seis dobras preparam as referências para a dobra simultânea.
Esta adaptação reúne dobrar e desdobrar em etapas didáticas. Na sequência de reflexões, chamamos os novos vértices de P2 a P6 para evitar a reutilização de letras que ocorre no artigo.
O que a dobra simultânea faz?
Na etapa 8, procure um único vinco que coloque K sobre a reta vertical HG e, ao mesmo tempo, O sobre a reta horizontal EG. Não são duas dobras sucessivas: as duas condições precisam ser satisfeitas pela mesma dobra.
Existem três vincos que atendem a essas condições. Escolhemos o terceiro, destacado, para obter os vértices na ordem apresentada. A imagem de K nessa dobra é Q. O ponto O também chega à sua reta de destino.
Esse é o sexto axioma de Huzita. Ele permite resolver certas equações de terceiro grau, que não podem ser resolvidas apenas pelas operações clássicas de régua sem marcas e compasso.
Por que o resultado é regular?
As primeiras dobras fixam proporções racionais na folha. A dobra simultânea determina uma solução da equação t³ + t² − 2t − 1 = 0. Para o vinco escolhido, t ≈ 1,2469796 e a altura de Q é 1/2 + t/4, tomando o lado da folha como unidade.
Depois, uma dobra que passa por G leva H à horizontal de Q. A imagem de H é V. Ela mantém a distância GH e determina o ângulo HGV = 2π/7, ou aproximadamente 51,428571°.
As reflexões seguintes conservam a distância ao centro e repetem esse ângulo. Assim, sete setores iguais completam a volta: 7 × (360°/7) = 360°. Os sete lados e os sete ângulos internos são iguais.
O desenho digital calcula as posições a partir das condições das dobras. Os autores do artigo apresentam uma prova automática da construção usando Theorema e bases de Gröbner. Os testes numéricos desta página conferem as condições de reflexão e a regularidade; não substituem essa prova simbólica.
Referência e comparação
Judit Robu, Tetsuo Ida, Dorin Ţepeneu, Hidekazu Takahashi e Bruno Buchberger. Computational Origami Construction of a Regular Heptagon with Automated Proof of Its Correctness. Automated Deduction in Geometry, LNAI 3763, pp. 19–33, 2006.